¿Qué son las componentes de velocidad?

Ir a la página de la lección

¿Por qué descomponemos los vectores en componentes?

El movimiento bidimensional es más complicado que el movimiento unidimensional, ya que las velocidades pueden apuntar en direcciones diagonales. Por ejemplo, una bola de béisbol se podría estar moviendo tanto horizontal como verticalmente al mismo tiempo con una velocidad diagonal $v$v. Para simplificar nuestros cálculos, descomponemos el vector de velocidad $v$v de la bola de béisbol en dos direcciones separadas: la velocidad horizontal, $v_x$v, start subscript, x, end subscript, y la velocidad vertical, $v_y$v, start subscript, y, end subscript.

Tratar de abordar las direcciones horizontales y verticales de una bola de béisbol en una sola ecuación es difícil; es mejor adoptar un enfoque de "divide y vencerás".

[¿Podemos descomponer un vector en otras direcciones además de horizontal y vertical?]

$v$v

Separar la velocidad diagonal $v$v en las componentes horizontal $v_x$v, start subscript, x, end subscript y vertical $v_y$v, start subscript, y, end subscriptnos permite tratar con cada dirección de manera separada. Esencialmente, seremos capaces de convertir un solo problema difícil bidimensional en dos más fáciles en una dimensión. El truco de separar vectores en componentes funciona aún si el vector no es de velocidad, por ejemplo, si es un vector de fuerza, momento o campo eléctrico. De hecho, vas a usar este truco en física una y otra vez, así que es importante que te vuelvas realmente bueno en lidiar con componentes vectoriales lo antes posible.

¿Cómo descomponemos un vector en componentes?

Antes de que hablemos acerca de descomponer vectores, debemos observar que la trigonometría ya nos da la habilidad de relacionar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo —hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente— y uno de sus ángulos, $\theta$theta, como se muestra a continuación.

$\Large \sin {\greenD{\,\theta}}=\dfrac{\redD {\text{cateto opuesto}}}{\text{hipotenusa}}$sine, start color greenD, space, theta, end color greenD, equals, start fraction, start color redD, c, a, t, e, t, o, space, o, p, u, e, s, t, o, end color redD, divided by, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end fraction

$\Large \cos{\greenD{\,\theta}}=\dfrac{\blue{\text{cateto adyacente}}}{\text{hipotenusa}}$cosine, start color greenD, space, theta, end color greenD, equals, start fraction, start color blue, c, a, t, e, t, o, space, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end color blue, divided by, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end fraction

$\Large \tan{\greenD{\,\theta}}=\dfrac{\redD {\text{cateto opuesto}}}{\blue{\text{cateto adyacente}}}$tangent, start color greenD, space, theta, end color greenD, equals, start fraction, start color redD, c, a, t, e, t, o, space, o, p, u, e, s, t, o, end color redD, divided by, start color blue, c, a, t, e, t, o, space, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end color blue, end fraction

$$

Cuando descomponemos cualquier vector diagonal en dos componentes perpendiculares, el vector total y sus componentes —$v, v_y, v_x$v, comma, v, start subscript, y, end subscript, comma, v, start subscript, x, end subscript— forman un triángulo rectángulo. Debido a esto, podemos aplicarle las mismas reglas trigonométricas a la magnitud de un vector de velocidad y a sus componentes, como se puede ver a continuación. Ten en cuenta que se trata a $v_x$v, start subscript, x, end subscript como el lado adyacente, a $v_y$v, start subscript, y, end subscript como el opuesto y a $v$v como la hipotenusa.

[Pero espera, las longitudes son diferentes a las velocidades. ¿Cómo es que estas reglas también funcionan para vectores de velocidad?]

$\Large \sin {\greenD{\,\theta}}=\dfrac{\redD {v_y}}{v}$sine, start color greenD, space, theta, end color greenD, equals, start fraction, start color redD, v, start subscript, y, end subscript, end color redD, divided by, v, end fraction

$\Large \cos{\greenD{\,\theta}}=\dfrac{\blue{v_x}}{v}$cosine, start color greenD, space, theta, end color greenD, equals, start fraction, start color blue, v, start subscript, x, end subscript, end color blue, divided by, v, end fraction

$\Large \tan{\greenD{\,\theta}}=\dfrac{\redD {v_y}}{\blue{v_x}}$tangent, start color greenD, space, theta, end color greenD, equals, start fraction, start color redD, v, start subscript, y, end subscript, end color redD, divided by, start color blue, v, start subscript, x, end subscript, end color blue, end fraction

[¿Qué pasa si necesitamos relacionar las componentes con el otro ángulo?]

$\Large \sin {\greenD \phi}=\dfrac{\blue {\text{cateto opuesto}}}{\text{hipotenusa}}=\dfrac{\blue {v_x}}{v}$

$\Large \cos{\greenD \phi}=\dfrac{\redD {\text{cateto adyacente}}}{\text{hipotenusa}}=\dfrac{\redD{v_y}}{v}$

$\Large \tan{\greenD \phi}=\dfrac{\blue {\text{cateto opuesto}}}{\redD{\text{cateto adyacente}}}=\dfrac{\blue {v_x}}{\redD{v_y}}$

$$

Observa que las velocidades $v$v en estas fórmulas se refieren a las magnitudes del vector de velocidad total, es decir, la rapidez total, y por lo tanto nunca pueden ser negativas. Las componentes individuales $v_x$v, start subscript, x, end subscript y $v_y$v, start subscript, y, end subscript pueden ser negativas si apuntan en dirección negativa. La convención es que la izquierda es negativa para la dirección horizontal, $x$x, y abajo es negativa para la dirección vertical, $y$y.

¿Cómo determinas la magnitud y el ángulo del vector total?

En secciones anteriores vimos cómo la magnitud y el ángulo de un vector pueden descomponerse en sus componentes horizontal y vertical. Pero, ¿qué pasa si empiezas con ciertas componentes de velocidad dadas: $v_y$v, start subscript, y, end subscript y $v_x$v, start subscript, x, end subscript? ¿Cómo podrías usar las componentes para encontrar la magnitud $v$v y el ángulo $\theta$theta del vector de velocidad total?

Encontrar la magnitud del vector de velocidad total no es muy difícil, ya que para cualquier triángulo rectángulo las longitudes de los catetos y de la hipotenusa estarán relacionadas por el teorema de Pitágoras.

$\Large v^2=\blue{v_x}^2+\redD{v_y}^2$v, start superscript, 2, end superscript, equals, start color blue, v, start subscript, x, end subscript, end color blue, start superscript, 2, end superscript, plus, start color redD, v, start subscript, y, end subscript, end color redD, start superscript, 2, end superscript

Al sacar la raíz cuadrada obtenemos la magnitud del vector de velocidad total en términos de sus componentes.

$\Large v=\sqrt {\blue{v_x}^2+\redD{v_y}^2}$v, equals, square root of, start color blue, v, start subscript, x, end subscript, end color blue, start superscript, 2, end superscript, plus, start color redD, v, start subscript, y, end subscript, end color redD, start superscript, 2, end superscript, end square root

---

También, si conocemos ambas componentes del vector total, podemos encontrar su ángulo usando $\text{tan}\theta$t, a, n, theta.

$\Large \tan{\greenD{\,\theta}}=\dfrac{\redD {v_y}}{\blue{v_x}}$tangent, start color greenD, space, theta, end color greenD, equals, start fraction, start color redD, v, start subscript, y, end subscript, end color redD, divided by, start color blue, v, start subscript, x, end subscript, end color blue, end fraction

Al sacar la inversa de la tangente obtenemos el ángulo del vector de velocidad total en términos de sus componentes.

$\Large \greenD \theta=\tan^{-1}(\dfrac{\redD {v_y}}{\blue{v_x}})$